Dwa okręgi o środkach S_1 i S_2 przecinają się w punktach A i... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Oblicz długość, 9849276

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Okrąg i koło

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Oblicz długość

Zadanie nr 9849276

Dwa okręgi o środkach $S 1$ i $S2$ przecinają się w punktach $A$ i $B$ , przy czym punkty $S 1$ i $S 2$ leżą po przeciwnych stronach prostej $AB$ . Miary kątów $AS 1B$ i $AS 2B$ wynoszą odpowiednio $90∘$ i $60∘$ . Wyznacz długości promieni tych okręgów wiedząc, że $|S S | = a 1 2$ .

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Sposób I

Oznaczmy $AS 2 = r2$ i $AS 1 = r1$ . Zauważmy, że trójkąt $ABS 2$ jest równoboczny (jest równoramienny i jeden z jego kątów ma miarę $60 ∘$ ). Zatem $AB = r2$ i ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego mamy

√ -- r2 3 S 2P = -----. 2

Ponadto trójkąt $AS B 1$ jest połówką kwadratu więc

√ -- √ -- 2r2 AS 1 2 = AB = r2 ⇒ r1 = AS 1 = ------ 2 PS = 1AB = 1r . 1 2 2 2

Korzystamy teraz z podanej długości odcinka $S1S2$ .

S2P√ +- PS 1 = a r2 3 1 ------+ -r2 = a 2 2 √ -- ---2a--- 2a(---3−-1-) √ -- r2 = √ 3+ 1 = 3 − 1 = a( 3 − 1).

Zatem

√ -- -- √ -- 2r a(√ 6− 2) r1 = ----2-= ------------- 2 2

Sposób II

Jeżeli oznaczymy $S2P = x$ to mamy

BP BP √ 3- ---- = tg 30∘ ⇒ ---= ---- S 2P x 3 -BP- ∘ -BP--- S P = tg 45 ⇒ a− x = 1. 1

Z tych równości mamy

√ -- a − x 3 ------= ---- x 3√ -- 3a − 3x = 3x √ -- x( 3 + 3 ) = 3a √ -- √ -- 3a 3a(3− 3) a(3− 3) x = ----√---= ------------= ----------- 3+ 3 9− 3 √ -- 2 √ -- a(3− 3) −a + a 3 P S1 = a − x = a − -----------= ----------- 2 2

Promienie okręgów wyliczamy teraz z trójkątów $S 2PB$ i $PS1B$ .

√ -- S P 3 -2--= cos 30∘ = ---- S2B √2-- √ -- √ -- x 2 3 a(3 − 3) 2 3 √ -- S2B = √-3 = x ⋅-----= -----------⋅----- = a( 3 − 1) -2- 3 2 3 S P √ 2- -1--= cos 45∘ = ---- S1B 2 √ -- a− x √ -- −a + a 3 √ -- a √ -- √ -- S1B = -√----= (a − x )⋅ 2 = ----------⋅ 2 = --( 6− 2). -22 2 2

Sposób III

Tym razem popatrzmy na trójkąt $S S B 2 1$ – znamy jego dwa kąty i bok, a chcemy wyliczyć długości pozostałych boków. Łatwo to zrobić z twierdzenia sinusów, o ile tylko wyliczymy sinus kąta $B$ . Liczymy