Zadanie nr 9849276

Dwa okręgi o środkach S 1 i przecinają się w punktach i , przy czym punkty S 1 i S 2 leżą po przeciwnych stronach prostej . Miary kątów AS 1B i AS 2B wynoszą odpowiednio 90∘ i 60∘ . Wyznacz długości promieni tych okręgów wiedząc, że |S S | = a 1 2 .

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Sposób I

Oznaczmy AS 2 = r2 i AS 1 = r1 . Zauważmy, że trójkąt ABS 2 jest równoboczny (jest równoramienny i jeden z jego kątów ma miarę 60 ∘ ). Zatem AB = r2 i ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego mamy

√ -- r2 3 S 2P = -----. 2

Ponadto trójkąt AS B 1 jest połówką kwadratu więc

√ -- √ -- 2r2 AS 1 2 = AB = r2 ⇒ r1 = AS 1 = ------ 2 PS = 1AB = 1r . 1 2 2 2

Korzystamy teraz z podanej długości odcinka S1S2 .

S2P√ +- PS 1 = a r2 3 1 ------+ -r2 = a 2 2 √ -- ---2a--- 2a(---3−-1-) √ -- r2 = √ 3+ 1 = 3 − 1 = a( 3 − 1).

Zatem

√ -- -- √ -- 2r a(√ 6− 2) r1 = ----2-= ------------- 2 2

Sposób II

Jeżeli oznaczymy S2P = x to mamy

BP BP √ 3- ---- = tg 30∘ ⇒ ---= ---- S 2P x 3 -BP- ∘ -BP--- S P = tg 45 ⇒ a− x = 1. 1

Z tych równości mamy

√ -- a − x 3 ------= ---- x 3√ -- 3a − 3x = 3x √ -- x( 3 + 3 ) = 3a √ -- √ -- 3a 3a(3− 3) a(3− 3) x = ----√---= ------------= ----------- 3+ 3 9− 3 √ -- 2 √ -- a(3− 3) −a + a 3 P S1 = a − x = a − -----------= ----------- 2 2

Promienie okręgów wyliczamy teraz z trójkątów S 2PB i PS1B .

√ -- S P 3 -2--= cos 30∘ = ---- S2B √2-- √ -- √ -- x 2 3 a(3 − 3) 2 3 √ -- S2B = √-3 = x ⋅-----= -----------⋅----- = a( 3 − 1) -2- 3 2 3 S P √ 2- -1--= cos 45∘ = ---- S1B 2 √ -- a− x √ -- −a + a 3 √ -- a √ -- √ -- S1B = -√----= (a − x )⋅ 2 = ----------⋅ 2 = --( 6− 2). -22 2 2

Sposób III

Tym razem popatrzmy na trójkąt S S B 2 1 – znamy jego dwa kąty i bok, a chcemy wyliczyć długości pozostałych boków. Łatwo to zrobić z twierdzenia sinusów, o ile tylko wyliczymy sinus kąta . Liczymy