Zadanie nr 6240592

Dany jest ciąg geometryczny (an) o wyrazie ogólnym -----1----- an = (sin α+ cosα)n , gdzie α ∈ ⟨0 ,2π⟩ . Dla jakich wartości ciąg (an) jest zbieżny?

Rozwiązanie

Ciąg geometryczny o ilorazie jest zbieżny jeżeli |q| < 1 lub q = 1 . Zanim ustalimy kiedy tak będzie przekształćmy sin α + cosα .

( π ) sin α+ cosα = sin α + sin --− α = ( ) ( ) 2√ -- ( ) = 2sin π- cos α − π- = 2 cos α− π- . 4 4 4

Mamy w szczególności

q = 1 ⇒ sin α + co sα = 1 √ -- ( ) 2co s α − π- = 1 4 √ -- ( π) 2 co s α − -- = ---- 4 2 α − π- = − π- ∨ α − π-= π- ∨ α − π- = 2π − π- 4 4 4 4 4 4 α = 0 ∨ α = π- ∨ α = 2π. 2

Mamy jeszcze nierówność

|| 1 || ||-------------|| < 1 sin α+ cosα |sinα + co sα| > 1 √ -- ( π ) √ -- ( π ) 2co s α − -- > 1 ∨ 2cos α − -- < − 1 4 √ -- 4 √ -- ( π) --2- √ -- ( π-) --2- co s α − 4 > 2 ∨ 2co s α − 4 < − 2 π ( π π) π ( π π ) α − -- ∈ − -, -- ∨ α − -- ∈ π − --,π + -- 4( π ) 4 4 ( 4π ) 4 4 α ∈ 0 ,-- ∨ α ∈ π,π + -- . 2 2

Odpowiedź: π 3π α ∈ ⟨0, 2⟩ ∪ (π,-2-)∪ { 2π}