/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Kąty

Zadanie nr 3257521

W okrąg o środku S wpisany jest trójkąt równoramienny ABC o kącie między ramionami AC i BC równym 4 0∘ . Przez wierzchołek B i środek okręgu S poprowadzono prostą, która przecięła bok AC trójkąta w punkcie D . Wyznacz miarę kąta CDB .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

PIC

Zauważmy, że

∘ ∘ ∡CAB = 180--−-40--= 70∘. 2

Ponieważ kąt ASB jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt ACB , więc

∡ASB = 80∘.

Trójkąt ABS jest równoramienny, więc

180∘ − 80∘ ∡SAB = -----------= 50∘. 2

Zatem

∘ ∡SAD = ∡CAB − ∡SAB = 2 0 .

Zauważmy, że

∘ ∘ ∘ ∘ ∡DSA = 180 − ∡ASB = 180 − 80 = 100 .

Wyznaczamy kąt SDA

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡SDA = 180 − ∡SAD − ∡DSA = 180 − 20 − 10 0 = 60 .

Zatem

α = 180 ∘ − ∡SDA = 1 80∘ − 60∘ = 120 ∘.

 
Odpowiedź: 120 ∘

Wersja PDF