/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Kąty

Zadanie nr 9213186

Oblicz miary kątów środkowych AOB zaznaczonych na rysunkach, jeśli dana jest miara kąta wpisanego ∡ACB = α .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy promień CO i oznaczmy przez β i γ miary kątów na jakie promień ten podzielił kąt ACB . W szczególności β+ γ = α .

PIC

Zauważmy, że każdy z trójkątów AOC i BOC jest równoramienny, więc ∡CAO = ∡ACO = β i ∡CBO = ∡BCO = γ . Sumy kątów w trójkątach AOC i BOC są równe 180∘ , zatem

∡AOC = 18 0∘ − 2β ∘ ∡BOC = 180 − 2γ.

To oznacza, że szukany kąt środkowy AOB ma miarę

∘ ∘ ∘ 360 − (1 80 − 2β) − (180 − 2γ ) = 2(β + γ ) = 2α.

 
Odpowiedź: 2α

Wersja PDF