/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Kąty

Zadanie nr 9276365

Średnica AB i cięciwa MN okręgu przecinają się w punkcie K . Kąt MKB ma miarę 78 ∘ , a kąt środkowy oparty na łuku BM ma miarę 4 8∘ . Wyznacz miarę kąta AMN .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Niektóre rzeczy powinny się narzucać: ponieważ kąt wpisany jest zawsze połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku, mamy

∡BAM = 1∡BOM = 1-⋅48∘ = 24∘ . 2 2

Popatrzmy na trójkąt AKM . Mamy wyliczyć jeden z jego kątów (ten przy wierzchołku M ), więc wystarczy wyliczyć jego pozostałe dwa kąty. Miarę kąt przy wierzchołku A już znamy, więc pozostaje kąt przy wierzchołku K :

∘ ∘ ∘ ∘ ∡AKM = 180 − ∡BKM = 180 − 78 = 1 02 .

Zatem

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∡AMN = ∡AMK = 180 − ∡KAM − ∡AKM = 1 80 − 24 − 102 = 54 .

 
Odpowiedź: 54∘

Wersja PDF