/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Kąty

Zadanie nr 5393112

Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz stosunek pola powierzchni całkowitej tego ostrosłupa do pola jego podstawy, jeżeli √5- cosα = 5 .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokość ST ostrosłupa oraz wysokość SE jego ściany bocznej. Oznaczmy też przez a długość krawędzi podstawy ostrosłupa.

PIC

Z podanego co sα obliczamy długość krawędzi bocznej ostrosłupa

√ -- 1 √ -- 1 √ -- √ -- √ --- --5- AT-- -2a--2 2a√-2- 5√-2- --10- 5 = co sα = AS = AS ⇒ AS = -5- = 2 5 a = 2 a. 5

Obliczamy teraz z trójkąta prostokątnego SBE długość wysokości ściany bocznej

∘ ------------ ∘ ---- ∘ ----------- 10 1 9 3 SE = SB2 − BE 2 = --a 2 − -a2 = -a2 = -a. 4 4 4 2

Teraz łatwo już obliczyć interesujący nas stosunek pola powierzchni całkowitej do pola podstawy

2 1 3 PABCD--+-4PBCS--= a-+--4⋅-2 ⋅a-⋅2a-= 1-+-3-= 4 . PABCD a 2 1

 
Odpowiedź: Pc = 4 Pp

Wersja PDF