/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Kąty

Zadanie nr 7701975

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole podstawy jest dwa razy większe od pola ściany bocznej. Oblicz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Musimy na początek ustalić, jak zaznaczyć interesujący nas kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi. Ponieważ trójkąty w ścianach bocznych są przystające, gdy opuścimy wysokości w trójkątach ABS i BCS na krawędź BS to przetną one tę krawędź w tym samym punkcie E . I mamy to, o co nam chodziło: płaszczyzna ACE jest teraz prostopadła do krawędzi BS , zatem interesujący nas kąt, to kąt przy wierzchołku E w trójkącie AEC .

Aby obliczyć cosinus kąta ∡AEC , możemy skorzystać z twierdzenia cosinusów w trójkącie ACE . Zanim to jednak zrobimy, obliczmy boki tego trójkąta. Jeżeli oznaczymy przez a długość krawędzi podstawy ostrosłupa, to z informacji podanej w treści zadania, mamy

PABCD = 2PABS 2 1 a = 2 ⋅-a ⋅SF ⇒ SF = a. 2

Stąd

∘ -------- √ -- ∘ ----------- a2 5 AS = AF 2 + SF 2 = --+ a2 = ----a. 4 2

Długość wysokości AE możemy obliczyć porównując dwa wzory na pole trójkąta ABS lub korzystając z podobieństwa trójkątów prostokątnych BAE i BSF . My wybierzemy tę drugą drogę. Na mocy wspomnianego podobieństwa mamy

√ -- AE--= SF- ⇒ AE = SF-⋅AB = √a--⋅ a = √2--a = 2--5-a. AB SB SB --5a 5 5 2

Dalszą część rozwiązania poprowadzimy na dwa sposoby.

Sposób I

Piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie AEC .

AC 2 = AE 2 + EC 2 − 2AE ⋅ EC ⋅co s∡AEC AC 2 = 2AE 2 − 2AE 2 ⋅cos∡AEC 2 2 AC = 2AE (1 − cos ∡AEC ) √ -- AC 2 (a 2 )2 2 5 1 − cos ∡AEC = ----2-= --(-----)2-= ---4-= -- 2AE 2⋅ √2-a 2⋅ 5 4 5 5- 1- co s∡AEC = 1− 4 = − 4.

Nie należy się bać ujemnego cosinusa – po prostu kąt ∡AEC jest rozwarty.

Sposób II

Tym razem obejdziemy się bez twierdzenia cosinusów. Niech G będzie środkiem odcinka AC . Ponieważ trójkąt ACE jest równoramienny, mamy √- a-2- AG = 2 oraz

√- √ --- 1 AG a22- 10 sin -∡AEC = sin ∡AEG = ---- = -2a- = ----. 2 AE √ 5 4

Teraz korzystamy ze wzoru na cos2 α .

co s∡AEC = 1− 2sin2 1∡AEC = 1− 2⋅ 10-= − 1. 2 16 4

 
Odpowiedź: − 14

Wersja PDF