/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy czworokątny/Kąty

Zadanie nr 9156752

Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta α .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokość ST ostrosłupa oraz wysokość SE jego ściany bocznej.

PIC

Wiemy, że pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe

Pc = 4Pp = 4 ⋅36.

Z drugiej strony,

4 ⋅36 = P = P + 4P = 36 + 4 ⋅ 1-⋅6⋅ SE = 36+ 12SE / : 1 2 c p SBC 2 SE = 12 − 3 = 9.

Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie SBE i obliczamy długość krawędzi bocznej ostrosłupa.

∘ ----------- √ ------- √ --- √ --- SB = SE 2 + BE 2 = 81+ 9 = 90 = 3 10.

Z trójkąta prostokątnego AT S obliczamy interesujący nas cosinus.

√- √ -- AT 6-2- 1 5 co sα = ----= -√2---= √---= ---. AS 3 10 5 5

 
Odpowiedź: √- cosα = -55-

Wersja PDF