Zadanie nr 4634665

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przeciwległe krawędzie boczne są prostopadłe, a wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa ma długość √ -- 3 3 . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i oznaczmy krawędź podstawy przez ( a nie , żeby nie mieć ułamków).

Rozpoczniemy od wyliczenia (na dwa sposoby) .

Sposób I

Z trójkąta prostokątnego AF E wyliczamy ,

∘ ----2-----2 ∘ -2------ AE = AF + F E = a + 27.

Ponieważ trójkąt ACE jest równoramienny i prostokątny, jest to połówka kwadratu, zatem

√ -- ∘ --------- AC = AE 2 = 2a2 + 54.

Z drugiej strony, ponieważ w podstawie ostrosłupa jest kwadrat o boku , mamy

√ -- √ -- AC = AB 2 = 2a 2 ,

co daje nam równanie

√ -- ∘ ---2----- 2a 2 = 2a + 54 8a 2 = 2a2 + 54 6a 2 = 54 2 a = 9 a = 3.

Sposób II

Zauważmy, że trójkąty ACD i ACE są oba równoramienne i prostokątne. Ponieważ mają wspólną przeciwprostokątną muszą być przystające. Zatem AE = AD = 2a i trójkąty w ścianach bocznych są równoboczne. Ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym mamy równanie

-- (2a )√ 3 √ -- --------= 3 3 2 a = 3.

Przechodzimy teraz do obliczania objętości i pola powierzchni.

Jak już zauważyliśmy, trójkąt ACE to połówka kwadratu, zatem jego wysokość opuszczona z wierzchołka (czyli wysokość ostrosłupa) to dokładnie połowa odcinka , czyli