Zadanie nr 1676468
Przekrój ostrosłupa prawidłowego trójkątnego płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek
i wysokości dwóch ścian bocznych jest trójkątem równobocznym. Krawędź boczna tego ostrosłupa ma długość
. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Oznaczmy przez długość krawędzi podstawy ostrosłupa. Wtedy
![DE = 1AB = a- 2 2](https://img.zadania.info/zad/1676468/HzadR2x.gif)
(odcinek łączący środki boków w trójkącie ). Z drugiej strony
![( √ --) 2 2 2 2 4--3- ( a) 2 16- a2- SD = SC − CD = 3 − 2 = 3 − 4 .](https://img.zadania.info/zad/1676468/HzadR4x.gif)
Korzystamy teraz z tego, że trójkąt jest równoboczny
![2 2 DE = SE a2 16 a2 4--= 3--− -4- 2 √ -- a--= 16- ⇒ a2 = 32- ⇒ a = 4√-2. 2 3 3 3](https://img.zadania.info/zad/1676468/HzadR6x.gif)
Mamy zatem
![2√ -- √ -- PABC = a---3-= 8---3 4 √ -- 3√ -- √ -- √ -- 2 a 3 3 4 2 4 2 CF = -⋅ -----= ---⋅ √----= ----- 3 2 3 ┌ -3-----3-------------- ∘ ----------- ││ ( √ --)2 ( √ --) 2 SF = SC 2 − CF 2 = ∘ 4--3- − 4--2- = 4√ 3-−-2-= 4. 3 3 3 3](https://img.zadania.info/zad/1676468/HzadR7x.gif)
Objętość ostrosłupa jest więc równa
![√ -- √ -- 1- 1- 8--3- 4- 32--3- V = 3 PABC ⋅SF = 3 ⋅ 3 ⋅3 = 27 .](https://img.zadania.info/zad/1676468/HzadR8x.gif)
Odpowiedź: