Zadanie nr 3080088

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość i tworzy z krawędzią podstawy kąt o mierze . Jaką objętość ma ten ostrosłup?

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

Z trójkąta prostokątnego CF D wyliczamy długość krawędzi podstawy otrosłupa.

CF--= cos α CD a 2-= cosα ⇒ a = 2b cosα . b

Wysokość ostrosłupa wyliczamy z trójkąta prostokątnego EBD . Aby to zrobić zauważmy, że to 2 3 długości wysokości trójkąta równobocznego ABC , czyli

√ -- √ -- √ -- EB = 2-⋅ a-3-= a--3-= 2--3b-cosα-. 3 2 3 3

Mamy zatem

∘ ---------------- ∘ ---2------2- 2 12b-2cos2-α 1- ∘ ----------2-- ED = BD − EB = b − 9 = 3 b 9 − 12 cos α .

Liczymy teraz objętość (korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego)

2√ -- 2√ -- 2 ∘ ------------- V = 1-⋅ a---3⋅ ED = b----3cos--α ⋅ 1b 9− 12co s2α = 3 √ --4 3 3 b3 3 cos2 α∘ ------------- = ------------ 9 − 12 cos2 α. 9

Odpowiedź: b3√-3cos2α√ ----------2-- 9 9 − 12 cos α