Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4716682

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa  √ -- 4 3 i tworzy z krawędzią boczną kąt α taki, że  √-- -21- sinα = 7 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Z podanej długości wysokości ściany bocznej będziemy chcieli obliczyć długość podstawy ostrosłupa, ale najpierw obliczymy tgα .

 ∘ ------- ∘ --- √ -- ∘ -------2-- 2-1 28- 2--7- cosα = 1 − sin α = 1 − 4 9 = 49 = 7 √-- √ -- sin-α -271- --3- tgα = cos α = 2√7-= 2 . 7

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny ASD .

√ -- --3-= tgα = AD-- = -A√D-- 2 SD 4 3 √ -- √ -- AD = --3-⋅4 3 = 6 2

To oznacza, że krawędź podstawy ostrosłupa ma długość a = 12 .

Musimy jeszcze obliczyć wysokość H ostrosłupa. Zrobimy to z trójkąta prostokątnego DES , ale najpierw zauważmy, że DE to 1 3 wysokości trójkąta równobocznego w podstawie ostrosłupa, więc

 √ -- 1 a 3 √ -- DE = --⋅ -----= 2 3. 3 2

Mamy zatem

 ∘ ---2------2- √ -------- √ --- H = SD − DE = 48 − 12 = 36 = 6.

Objętość ostrosłupa jest więc równa

 2√ -- √ -- √ -- V = 1-Pp ⋅H = 1-⋅ a--3-⋅6 = 1-⋅144 3 = 72 3. 3 3 4 2

 
Odpowiedź:  √ -- 72 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!