Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5245502

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest trójkąt równoboczny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa  √ --- 2 17 , a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy 4. Oblicz objętość tego ostrosłupa.


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Dorysujmy wysokość ściany bocznej.


PIC


Sposób I

Jeżeli oznaczymy wysokość ostrosłupa przez H , to z podanego tangensa kąta α nachylenia ściany bocznej do podstawy mamy

 H H ----= 4 ⇒ DO = -- . DO 4

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie SOD .

SO 2 + DO 2 = SD 2 2 H 2 + H-- = 68 16 1 7 2 16 ---H = 68 / ⋅--- 1 62 17 H = 6 4 ⇒ H = 8.

Stąd DO = H4-= 2 . Jeżeli oznaczymy przez a długość krawędzi podstawy ostrosłupa, to mamy

 √ -- √ -- 1 a 3 a 3 2 = DO = 3-⋅--2--= --6-- √ -- a = 1√-2-= 4 3. 3

Liczymy teraz objętość ostrosłupa.

 2√ -- √ -- √ -- V = 1-⋅ a---3⋅ H = 1-⋅ 48-3-⋅8 = 32 3. 3 4 3 4

Sposób II

Tym razem obliczmy najpierw sin α i cosα . Szkicujemy trójkąt prostokątny, w którym tg α = 4 . Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.

 ∘ -2----2 √ --- c = 4 + 1 = 17.

Stąd

 4 4 sinα = --= √---- c 17 1- --1-- cosα = c = √ 17.

Teraz z trójkąta prostokątnego SOD obliczamy długości odcinka DO i wysokości ostrosłupa.

 4 SO H √----= sinα = ----= -√---- ⇒ H = 8 17 SD 2 17 --1-- DO-- DO---- √ 17-= cos α = SD = 2√ 17- ⇒ DO = 2.

Długość krawędzi podstawy i objętość obliczamy tak samo jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź:  √ -- V = 32 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!