Zadanie nr 6150522
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość . Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa
. Wyznacz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Musimy najpierw ustalić jak wyliczyć kąt między ścianami bocznymi.
Ogólnie, taki kąt wyznacza się przecinając kąt dwuścienny płaszczyzną prostopadłą do krawędzi kąta i liczy się miarę otrzymanego kąta płaskiego. W naszej sytuacji sprawa jest dość prosta. Jeżeli poprowadzimy wysokości i
w trójkątach ścian bocznych, opuszczone na krawędź
, to ponieważ ostrosłup jest prawidłowy (ściany są przystające), to spodki tych wysokości będą dokładnie w tym samym punkcie, oznaczmy go przez
. Otrzymana płaszczyzna jest prostopadła do krawędzi
, zatem kąt
jest kątem między ścianami bocznymi.
Sposób I
Z trójkąta prostokątnego mamy

Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny

Teraz patrzymy na trójkąty podobne i
.

Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny – wyliczamy z niego wysokość ostrosłupa.

Teraz bez trudu liczymy objętość

Sposób II
Z trójkąta mamy

Dokładnie tak samo jak w poprzednim sposobie wyliczamy

Tym razem jednak nie będziemy liczyć wysokości ściany bocznej, ale od razu wyliczymy wysokość ostrosłupa. Patrzymy na trójkąt .

Trójkąty i
są podobne (oba są prostokątne i mają wspólny kąt
). Mamy więc

Pozostało policzyć objętość ostrosłupa.

Odpowiedź: