/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy trójkątny/Objętość

Zadanie nr 6826981

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS o podstawie ABC wysokość jest równa 3, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa ma miarę 12 0∘ . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Musimy najpierw ustalić jak zaznaczyć kąt między ścianami bocznymi.

PIC

Kąt ten to kąt płaski jaki otrzymujemy przecinając kąt dwuścienny płaszczyzną prostopadłą do krawędzi kąta. W naszej sytuacji sprawa jest dość prosta. Jeżeli poprowadzimy wysokości BE i CE w trójkątach ścian bocznych, to ponieważ ostrosłup jest prawidłowy (ściany są przystające), to spodki tych wysokości będą dokładnie w tym samym punkcie, oznaczmy go przez E . Otrzymana płaszczyzna BEC jest prostopadła do krawędzi AS , zatem kąt BEC jest kątem między ścianami bocznymi.

Oznaczmy AB = a . Z trójkąta prostokątnego BF E mamy

BF- ∘ √ -- EF = tg6 0 = 3 a EF = B√F--= √2--= --a√--. 3 3 2 3

Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny AEF

┌ (-----)--------------- ∘ ----------- ││ √ -- 2 ( ) 2 AE = AF 2 − EF 2 = ∘ a--3- − -a√--- = 2 2 3 ∘ -------- ∘ --- ∘ -- √ -- 3- 1-- -8- 2- a---6 = a 4 − 12 = a 12 = a 3 = 3 .

Teraz patrzymy na trójkąty podobne AKS i AEF (oba są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku A ).

AK AE ---- = ---- KS √ - EF √- 23 ⋅ a23 a36- ------- = -a√-- 3 2 3 a √ 3- a√ 6- 2√ 3- √ -- 9 ----- = -----⋅ -----= 2 2 / ⋅√--- 9 -3 a 3 18√ 2 a = -√---- 3

Pozostało obliczyć objętość ostrosłupa.

( √-) 2 √ -- 2√ -- 18√-2- ⋅ 3 324⋅2 ⋅√ 3- √ -- V = 1-⋅ a---3-⋅3 = ----3---------= --3-------= 54 3. 3 4 4 4

 
Odpowiedź: √ -- 54 3

Wersja PDF