Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8803304

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa  √ -- 5 3 (zobacz rysunek). Krawędź boczna tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt α taki, że tg α = 1 2 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy przez H wysokość ostrosłupa. Wtedy z podanego tangensa kąta α mamy

1-= tg α = BO--= BO-- ⇒ BO = 1H . 2 SO H 2

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym BOS .

 2 2 2 BS = BO + SO 1- 2 2 5- 2 4- 7 5 = 4 H + H = 4H / ⋅5 4 √ --- H 2 = 75 ⋅--= 15⋅4 ⇒ H = 2 15. 5

Jeżeli ponadto oznaczymy AB = a , to

2 a√ 3- 1 √ --- 3 -⋅ -----=BO = -H = 15 / ⋅√--- 3 2 2-- 3 3 √ 15 √ -- a = --√--- = 3 5 . 3

Objętość ostrosłupa jest więc równa

 2√ -- √ --2√ -- √ --- √ -- √ --- √ -- V = 1-⋅ a--3-⋅H = 1⋅ (3--5)---3-⋅2 15 = 15--3-⋅ 15 = 45--5-. 3 4 3 4 2 2

 
Odpowiedź:  √ - V = 45--5 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!