Zadanie nr 9359023
W ostrosłup prawidłowy trójkątny wpisano kulę o promieniu . Ściana boczna ostrosłupa nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem
. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
Co wiemy o środku kuli wpisanej w ten czworościan? – na pewno leży on na wysokości , oraz na dwusiecznej
kąta
. To pozwala łatwo wyliczyć krawędź
podstawy ostrosłupa. Zauważmy, że odcinek
stanowi
wysokości trójkąta równobocznego w podstawie. Patrząc na trójkąt
mamy

Z trójkąta wyliczamy wysokość
.

Teraz możemy policzyć objętość ostrosłupa (korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego).

Odpowiedź: