Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9359023

W ostrosłup prawidłowy trójkątny wpisano kulę o promieniu r . Ściana boczna ostrosłupa nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem 2α . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.


PIC


Co wiemy o środku kuli wpisanej w ten czworościan? – na pewno leży on na wysokości SF , oraz na dwusiecznej DO kąta CDS . To pozwala łatwo wyliczyć krawędź a podstawy ostrosłupa. Zauważmy, że odcinek FD stanowi 1 3 wysokości trójkąta równobocznego w podstawie. Patrząc na trójkąt F DO mamy

F D ----= ctgα F O FD = r ctgα √ -- 1-⋅ a--3 = rctg α 3 2 6r-ctgα- √ -- a = √ 3- = 2 3r ctg α.

Z trójkąta F DS wyliczamy wysokość SF .

-SF- F D = tg 2α ⇒ SF = rctg αtg 2α.

Teraz możemy policzyć objętość ostrosłupa (korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego).

 √ -- 1 a2 3 √ -- √ -- V = -⋅ ------⋅SF = r2 3ctg2 α⋅r ctg α tg2α = 3r3ctg3 αtg 2α. 3 4

 
Odpowiedź: √ -- 3r3 ctg 3α tg 2α

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!