/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy trójkątny/Objętość

Zadanie nr 9359023

W ostrosłup prawidłowy trójkątny wpisano kulę o promieniu r . Ściana boczna ostrosłupa nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem 2α . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Co wiemy o środku kuli wpisanej w ten czworościan? – na pewno leży on na wysokości SF , oraz na dwusiecznej DO kąta CDS . To pozwala łatwo wyliczyć krawędź a podstawy ostrosłupa. Zauważmy, że odcinek FD stanowi 1 3 wysokości trójkąta równobocznego w podstawie. Patrząc na trójkąt F DO mamy

F D ----= ctgα F O FD = r ctgα √ -- 1-⋅ a--3 = rctg α 3 2 6r-ctgα- √ -- a = √ 3- = 2 3r ctg α.

Z trójkąta F DS wyliczamy wysokość SF .

-SF- F D = tg 2α ⇒ SF = rctg αtg 2α.

Teraz możemy policzyć objętość ostrosłupa (korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego).

√ -- 1 a2 3 √ -- √ -- V = -⋅ ------⋅SF = r2 3ctg2 α⋅r ctg α tg2α = 3r3ctg3 αtg 2α. 3 4

 
Odpowiedź: √ -- 3r3 ctg 3α tg 2α

Wersja PDF