Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9983894

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej ma długość  √ -- 4 3 , a ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 ∘ . Oblicz objętość ostrosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Zauważmy, że podany kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy pozwala łatwo obliczyć długość wysokości SE ostrosłupa oraz promień ED okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny w podstawie. Patrzymy na trójkąt prostokątny SDE .

 -- SE √ -- √ 3 ----= sin 60∘ ⇒ SE = 4 3⋅ ----= 6 SD 2 DE--= cos6 0∘ ⇒ DE = 4√ 3⋅ 1-= 2√ 3-. SD 2

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny to 13 jego wysokości, więc jeżeli oznaczymy przez a długość krawędzi postawy to mamy równanie

 √ -- 1 a 3 √ -- 6 --⋅-----= 2 3 / ⋅ √--- 3 2 3 a = 12.

Pozostało obliczyć objętość ostrosłupa

 √ -- √ -- 1 a2 3 1 144 3 √ -- V = --⋅------⋅H = --⋅ -------⋅6 = 7 2 3. 3 4 3 4

 
Odpowiedź:  √ -- V = 72 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!