/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy trójkątny/Pole powierzchni

Zadanie nr 9241058

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest równa √ -- 6 3 , a krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 3 0∘ . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy. Spodek wysokości O ostrosłupa dzieli wysokości trójkąta równobocznego w podstawie w stosunku 2:1, więc

√ -- √ -- 2 a 3 a 3 OC = --⋅----- = -----. 3 2 3

Korzystamy teraz z podanego kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

H √ 3- √ 3- √ 3- a√ 3- a ----= tg30∘ = ---- ⇒ H = ---OC = ----⋅-----= --. OC 3 3 3 3 3

Korzystamy teraz z podanej objętości ostrosłupa.

√ -- 2√ -- 3√ -- 6 3 = V = 1-⋅Pp ⋅H = 1⋅ a---3-⋅ a-= a---3- / ⋅ 3√-6 3 3 4 3 3 6 3 63 = a3 ⇒ a = 6.

Teraz z trójkąta prostokątnego DOS obliczamy długość wysokości ściany bocznej.

√ -- √ -- DO = 1-OC = 1⋅ a--3-= 3 2 2 3 H = a-= 2 3 ----------- ∘ 2 2 √ ------ √ -- h = DS = DO + H = 3+ 4 = 7.

Pozostało obliczyć pole powierzchni bocznej.

1 √ -- √ -- Pb = 3⋅ -⋅ 6⋅ 7 = 9 7. 2

 
Odpowiedź: √ -- 9 7

Wersja PDF