Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9435485

Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 96, a krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt, którego cosinus jest równy √ - --3 9 . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.


PIC


Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy. Spodek wysokości O ostrosłupa dzieli wysokości trójkąta równobocznego w podstawie w stosunku 2:1, więc

 √ -- √ -- 2 a 3 a 3 OC = --⋅----- = -----. 3 2 3

Korzystamy teraz z podanego cosinusa kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

 √ -- a√3- OC--= co sα = --3- ⇒ SC = √3--= 3a. SC 9 --3 9

Korzystamy teraz z podanej sumy długości wszystkich krawędzi ostrosłupa.

 96 96 = 3AB + 3SC = 3a+ 3⋅3a = 12a ⇒ a = ---= 8. 12

Obliczamy teraz wysokość h ściany bocznej

 ∘ -------------- ∘ --------- ∘ ----------- (a )2 a2 h = SB 2 − DB 2 = (3a)2 − -- = 9a 2 − ---= ∘ ------ ∘ --- √ --2 4 1 35 35 √ --- = a 9 − 4-= a 4--= 8 ⋅--2--= 4 35 .

Obliczamy pole powierzchni bocznej.

 1 √ --- √ --- Pb = 3PABS = 3 ⋅2-⋅AB ⋅h = 3 ⋅4 ⋅4 35 = 4 8 35.

 
Odpowiedź:  √ --- 48 3 5

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!