/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy trójkątny/Kąty

Zadanie nr 4614018

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest 3 razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz cosinus kąta utworzonego przez dwie sąsiednie ściany boczne.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od dużego rysunku.


ZINFO-FIGURE


Musimy najpierw ustalić jak obliczyć kąt między ścianami bocznymi. Ogólnie, taki kąt wyznacza się przecinając kąt dwuścienny płaszczyzną prostopadłą do krawędzi kąta i liczy się miarę otrzymanego kąta płaskiego. W naszej sytuacji sprawa jest dość prosta. Jeżeli poprowadzimy wysokości BE i CE w trójkątach ścian bocznych, opuszczone na krawędź AD , to ponieważ ostrosłup jest prawidłowy (ściany są przystające), to spodki tych wysokości będą dokładnie w tym samym punkcie – oznaczmy go przez E . Otrzymana płaszczyzna BEC jest prostopadła do krawędzi AD , zatem kąt ∡BEC = α jest kątem między ścianami bocznymi.

Cosinus szukanego kąta będziemy mogli obliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie BEC . Aby to zrobić, musimy obliczyć długości wysokości BE = CE . Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy ostrosłupa. Wtedy krawędź boczna ma długość 3a .

Narysujmy sobie z boku trójkąt ABD . Chcemy obliczyć jego wysokość BE . Obliczymy najpierw z twierdzenia Pitagorasa wysokość DF

 ∘ -------------- ∘ --------- √ --- 2 (a-)2 2 a2- --35a- DF = (3a) − 2 = 9a − 4 = 2 .

Porównajmy teraz dwa wzory na pole trójkąta ABD (inny sposób, to podobieństwo trójkątów ABE i ADF )

 1AB ⋅DF = 1AD ⋅BE 2 2 √ -- --35a √ --- BE = AB-⋅-DF--= a⋅--2---= --3-5a. AD 3a 6

Pozostało zastosować twierdzenie cosinusów do trójkąta BEC .

 2 2 2 BC = BE + CE − 2BE ⋅CE cosα BC 2 = 2BE 2(1− cosα ) BC-2-- 1− co sα = 2BE 2 2 cos α = 1 − -BC--- 2BE 2 a2 18 17 cos α = 1 − 35-2-= 1− ---= --. 18a 35 35

 
Odpowiedź: 1375

Wersja PDF
spinner