Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 5062238

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS pole powierzchni bocznej jest trzy razy większe od pola podstawy. Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy, a przez h i H odpowiednio długości wysokości ściany bocznej oraz wysokości ostrosłupa.


PIC


Sposób I

Z podanego stosunku pola bocznego do pola podstawy mamy

 1 √ -- 3 = 3⋅√2ah-= -6a√h--= -6h√--- ⇒ h = a--3. a2-3 a2 3 a 3 2 4

Ponieważ środek O trójkąta równobocznego ABC dzieli jego wysokość DC w stosunku 2:1, mamy

 √ -- √ -- DO = 1-⋅ a--3-= a--3. 3 2 6

Z trójkąta prostokątnego DOS obliczamy teraz wysokość ostrosłupa.

 ┌│ -----(--√--)-2- ∘ ----------- ∘ ----- ∘ ---- √ -- ∘ ------------ │∘ a 3 3a2 3a2 2 4a2 6a2 a 6 H = SD 2 − DO 2 = h2 − ----- = ----− ----= ----- = ----= ----. 6 4 36 3 6 9 3

Stąd

 a√-6- √2- √ -- sin α = H- = -√3- = -3-= 2--2-. h a-3- 1 3 2 2

Sposób II

Zauważmy, że z treści zadania wynika, że ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi o polu takim samym jak pole podstawy ostrosłupa. To oznacza, że ściany boczne są trójkątami równobocznymi i mamy do czynienia z czworościanem foremnym. W szczególności

 √ -- a--3- h = 2 .

Resztę rachunków przeprowadzamy tak samo jak w pierwszym sposobie.  
Odpowiedź:  √ - 2--2 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!