/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy trójkątny/Kąty

Zadanie nr 6681775

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest 2 razy dłuższa od krawędzi podstawy. Oblicz cosinus kąta utworzonego przez dwie sąsiednie ściany boczne.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od dużego rysunku.


PIC


Musimy najpierw ustalić jak obliczyć kąt między ścianami bocznymi. Ogólnie, taki kąt wyznacza się przecinając kąt dwuścienny płaszczyzną prostopadłą do krawędzi kąta i liczy się miarę otrzymanego kąta płaskiego. W naszej sytuacji sprawa jest dość prosta. Jeżeli poprowadzimy wysokości BE i CE w trójkątach ścian bocznych, opuszczone na krawędź AD , to ponieważ ostrosłup jest prawidłowy (ściany są przystające), to spodki tych wysokości będą dokładnie w tym samym punkcie – oznaczmy go przez E . Otrzymana płaszczyzna BEC jest prostopadła do krawędzi AD , zatem kąt ∡BEC = α jest kątem między ścianami bocznymi.

Cosinus szukanego kąta będziemy mogli obliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie BEC . Aby to zrobić, musimy obliczyć długości wysokości BE = CE . Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy ostrosłupa. Wtedy krawędź boczna ma długość 2a .

Narysujmy sobie z boku trójkąt ABD . Chcemy obliczyć jego wysokość BE . Obliczymy najpierw z twierdzenia Pitagorasa wysokość DF

 ∘ --------(--)-- ∘ --------- √ --- DF = (2a)2 − a- 2 = 4a2 − a2-= --15a. 2 4 2

Porównajmy teraz dwa wzory na pole trójkąta ABD (inny sposób, to podobieństwo trójkątów ABE i ADF )

 1- 1- 2AB ⋅DF = 2AD ⋅BE √-15a √ --- BE = AB-⋅-DF--= a⋅--2---= --1-5a. AD 2a 4

Pozostało zastosować twierdzenie cosinusów do trójkąta BEC .

 2 2 2 BC = BE + CE − 2BE ⋅CE cosα BC 2 = 2BE 2(1− cosα ) BC-2-- 1− co sα = 2BE 2 BC 2 cos α = 1 − ------ 2BE 2 -a2-- -8- 7-- cos α = 1 − 15 2 = 1− 15 = 15. 8 a

 
Odpowiedź: 175

Wersja PDF
spinner