Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7759314

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna ma długość  √ -- 3 6 , a krawędź podstawy ma długość 12. Oblicz miarę kąta utworzonego przez dwie sąsiednie ściany boczne.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku (rysunek tak naprawdę jest trudny do narysowania, bo trójkąty w ścianach bocznych są rozwartokątne, ale jeżeli tego nie zauważmy to nic nie szkodzi – nie ma specjalnego wpływu na obliczenia).


PIC


Musimy najpierw ustalić jak wyliczyć kąt między ścianami bocznymi. Ogólnie, taki kąt wyznacza się przecinając kąt dwuścienny płaszczyzną prostopadłą do krawędzi kąta i liczy się miarę otrzymanego kąta płaskiego. W naszej sytuacji sprawa jest dość prosta. Jeżeli poprowadzimy wysokości BE i CE w trójkątach ścian bocznych, opuszczone na krawędź AD , to ponieważ ostrosłup jest prawidłowy (ściany są przystające), spodki tych wysokości będą dokładnie w tym samym punkcie, oznaczmy go przez E . Otrzymana płaszczyzna BEC jest prostopadła do krawędzi AD , zatem kąt ∡BEC = α jest kątem między ścianami bocznymi.

Cosinus szukanego kąta będziemy mogli wyliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie BEC . Aby to zrobić, musimy wyliczyć długości wysokości BE = CE .

Narysujmy sobie z boku trójkąt ABD . Chcemy wyliczyć jego wysokość BE . Wyliczymy najpierw z twierdzenia Pitagorasa wysokość DF

 ∘ ----2------2 √ -------- √ -- DF = AD − AF = 54 − 36 = 3 2.

Porównajmy teraz dwa wzory na pole trójkąta ABD (inny sposób, to podobieństwo trójkątów ABE i ADF )

1 1 --AB ⋅DF = --AD ⋅BE 2 2 √ -- AB ⋅DF 1 2⋅3 2 12 √ -- BE = --AD-----= ----√---- = √---= 4 3. 3 6 3

Pozostało zastosować twierdzenie cosinusów do trójkąta BEC .

 2 2 2 BC = BE + CE − 2BE ⋅CE cosα BC 2 = 2BE 2(1− cosα ) 2 1− co sα = BC---- 2BE 2 BC 2 cos α = 1 − ----2- 2BE cos α = 1 − 144-= − 48-= − 1. 96 96 2

Zatem α = 1 20∘ .  
Odpowiedź: 120 ∘

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!