Zadanie nr 7759314
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna ma długość 
, a krawędź podstawy ma długość 12. Oblicz miarę kąta utworzonego przez dwie sąsiednie ściany boczne.
Rozwiązanie
Zaczynamy oczywiście od rysunku (rysunek tak naprawdę jest trudny do narysowania, bo trójkąty w ścianach bocznych są rozwartokątne, ale jeżeli tego nie zauważmy to nic nie szkodzi – nie ma specjalnego wpływu na obliczenia).
Musimy najpierw ustalić jak wyliczyć kąt między ścianami bocznymi. Ogólnie, taki kąt wyznacza się przecinając kąt dwuścienny płaszczyzną prostopadłą do krawędzi kąta i liczy się miarę otrzymanego kąta płaskiego. W naszej sytuacji sprawa jest dość prosta. Jeżeli poprowadzimy wysokości 
i 
w trójkątach ścian bocznych, opuszczone na krawędź 
, to ponieważ ostrosłup jest prawidłowy (ściany są przystające), spodki tych wysokości będą dokładnie w tym samym punkcie, oznaczmy go przez 
. Otrzymana płaszczyzna 
jest prostopadła do krawędzi 
, zatem kąt 
jest kątem między ścianami bocznymi.
Cosinus szukanego kąta będziemy mogli wyliczyć z twierdzenia cosinusów w trójkącie 
. Aby to zrobić, musimy wyliczyć długości wysokości 
.
Narysujmy sobie z boku trójkąt 
. Chcemy wyliczyć jego wysokość 
. Wyliczymy najpierw z twierdzenia Pitagorasa wysokość 
Porównajmy teraz dwa wzory na pole trójkąta 
(inny sposób, to podobieństwo trójkątów 
i 
)
Pozostało zastosować twierdzenie cosinusów do trójkąta 
.
Zatem 
.
Odpowiedź: 
