/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy trójkątny/Kąty

Zadanie nr 8811814

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS krawędź podstawy ma długość 12, a jego objętość jest równa √ -- 72 3 . Kąt α jest kątem między krawędziami bocznymi SA i SB (zobacz rysunek). Oblicz sinus kąta α .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dorysujmy wysokość SE ostrosłupa oraz wysokość SD jego ściany bocznej ABS .

PIC

Z podanej objętości możemy obliczyć wysokość H ostrosłupa (korzystamy ze wzoru: √- a2-3 4 na pole trójkąta równobocznego o boku a ).

√ -- √ -- 1 1 144 3 √ -- 72 3 = --Pp ⋅ H = --⋅-------H = 12 3H ⇒ H = 6. 3 3 4

Teraz z trójkąta prostokątnego SED obliczamy wysokość h ściany bocznej.

√ -- √ -- ED = 1CD = 1-⋅ 12--3 = 2 3 3∘ ------3----2 √ -------- √ --- √ -- h = SE 2 + ED 2 = 36 + 12 = 48 = 4 3.

Obliczmy jeszcze długość krawędzi bocznej – korzystamy z trójkąta prostokątnego ADS .

∘ ----2------2 √ -------- √ --- √ --- AS = AD + SD = 36+ 48 = 84 = 2 21.

Interesujący nas sinα obliczymy na dwa sposoby.

Sposób I

Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta z sinusem.

1 1 PABS = -AS ⋅BS sin α = --AS 2sin α 2 2 √ -- √ -- √ -- PABS 12AB ⋅h 12 ⋅4 3 12 3 4 3 sinα = 1---2-= -1----2-= ---------= ------= -----. 2AS 2AS 84 21 7

Sposób II

Korzystamy ze wzoru

α α AD SD 6 ⋅4√ 3- 12√ 3- 4√ 3- sin α = 2 sin -co s--= 2 ⋅----⋅ ----= 2 ⋅--------= ------= -----. 2 2 AS AS 84 21 7

 
Odpowiedź: √ - 4--3 7

Wersja PDF