/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy trójkątny/Kąty

Zadanie nr 9422537

Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, jeżeli wiadomo, że promień okręgu opisanego na podstawie, wysokość ostrosłupa i krawędź boczna tworzą trójkąt równoramienny.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Odcinek EB stanowi 23 wysokości trójkąta równobocznego, więc jeżeli oznaczymy AB = a to

√ -- √ -- 2- a--3- a--3- EB = 3 ⋅ 2 = 3 .

Z treści zadania wiemy, że trójkąt BED jest równoramienny. Jest on też prostokątny, więc jest to połówka kwadratu. W szczególności

√ -- √ -- √ -- a 3 √ -- a 6 BD = EB 2 = -----⋅ 2 = ----. 3 3

Teraz możemy obliczyć żądany cosinus.

-- -- AF 1AB a 3 3√ 6 √ 6 co sα = ----= 2---- = -√2- = -√---= -----= ---. AD BD a36- 2 6 2⋅ 6 4

 
Odpowiedź: √ - --6 4

Wersja PDF