Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6234659

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Promień okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równy  √ -- 2 3 . Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy ostrosłupa pod kątem 60∘ . Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku


PIC


Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym stanowi 23 wysokości tego trójkąta. Zatem

 √ -- √ -- |CE | = 3-⋅2 3 = 3 3. 2

Ze wzoru na długość wysokości trójkąta równobocznego wyznaczamy długość boku

 √ -- √ -- a---3 3 3 = 2 ⇒ a = 6 .

Ponieważ odcinek CS jest promieniem okręgu opisanego, więc

 √ -- |SE| = |CE |− |CS | = 3.

Korzystamy z tego, że ∡SED = 6 0∘ i obliczamy wysokość ostrosłupa

 ∘ |DS-| tg6 0 = |SE | √ -- √ -- |DS | = 3 ⋅ 3 = 3.

Obliczamy pole podstawy

 √ -- -- P = a⋅|CE-|-= 6⋅3---3-= 9√ 3. p 2 2

Teraz już łatwo obliczyć objętość

 √ -- √ -- V = 1-⋅9 3⋅3 = 9 3. 3

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość ściany bocznej

 ∘ ------√---- √ --- √ -- |DE | = 32 + ( 3)2 = 12 = 2 3.

Liczymy pole ściany bocznej

 √ -- 6⋅2 3 √ -- P = --------= 6 3 . 2

Zatem pole boczne wynosi

P = 3P = 18√ 3. b

 
Odpowiedź:  √ -- V = 9 3 i  √ -- Pb = 18 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!