Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1923568

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC . Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 27. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy ostrosłupa.


PIC


Pole podstawy jest równe  2√ - Pp = a4-3 , a wysokość trójkąta w podstawie jest równa

 √ -- a--3- AD = 2 .

Wiemy ponadto, że SO = AD , więc z podanej objętości ostrosłupa możemy obliczyć a .

 1- 27 = V = 3 Pp ⋅ SO 2√ -- √ -- 3 27 = 1-⋅ a---3⋅ a--3-= a-- / ⋅8 3 4 2 8 a3 = 27 ⋅8 ⇒ a = 3 ⋅2 = 6.

Mamy zatem

 √ -- a 3 √ -- SO = AD = -----= 3 3 2 -- -- DO = 1AD = 1-⋅3 √ 3 = √ 3 3 3 ∘ ---2-------2 √ ------- √ --- SD = SO + DO = 27 + 3 = 30 .

Pole powierzchni bocznej jest więc równe

 1 √ --- Pb = 3 ⋅--⋅a ⋅SD = 9 3 0. 2

Obliczamy jeszcze cosinus kąta SDA .

 √ -- √ --- DO 3 1 10 cos∡SDA = ----= √----= √----= ----. SD 30 10 10

 
Odpowiedź:  √ --- √-- Pb = 9 30, cosα = -1100- .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!