Zadanie nr 2291725
Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa . Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze
taki, że
.
Oblicz wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa.
Rozwiązanie
Podpiszmy wierzchołki ostrosłupa i oznaczmy długość krawędzi jego podstawy przez .
Odcinek to
wysokości trójkąta równobocznego
w podstawie ostrosłupa, więc
![√ -- √ -- 1 a 3 a 3 SE = --⋅-----= -----. 3 2 6](https://img.zadania.info/zad/2291725/HzadR5x.png)
Korzystamy teraz z podanego tangensa.
![4 DS 4 4 a√ 3- 2√ 3- --= tg α = ---- ⇒ DS = -SE = --⋅-----= -----a. 3 SE 3 3 6 9](https://img.zadania.info/zad/2291725/HzadR6x.png)
Korzystamy teraz z podanej objętości
![√ -- √ -- √ -- √ -- 1- a2--3- --3- 2 2--3- 1--3 2 88 3 = V = 3 ⋅ 4 ⋅DS = 12 a ⋅ 9 a = 18a /⋅ 18 3 √ -- √ -- 6 4 1 6 9 a = 28 8 3⋅1 8 = 32 ⋅9⋅ 2⋅9 ⋅ 3 = 2 ⋅3 ⋅32 = 2 ⋅32 ( 9)13 3 √ -- √ -- a = 26 ⋅3 2 = 22 ⋅3 2 = 4⋅ 3 3 = 12 3 .](https://img.zadania.info/zad/2291725/HzadR7x.png)
Stąd
![√ -- √ -- a---3 √ -----3 SE = 6 = 12 3⋅ 6 = 6 4 DS = --SE = 8 3∘ ----------- √ -------- √ ---- h = DE = SE2 + DS 2 = 36+ 64 = 100 = 10.](https://img.zadania.info/zad/2291725/HzadR8x.png)
Odpowiedź: 10