Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3041458

W sferę o promieniu R wpisano ostrosłup prawidłowy trójkątny w ten sposób, że wszystkie wierzchołki ostrosłupa leżą na powierzchni sfery. Wiedząc, że krawędź boczna ostrosłupa ma długość 13, a krawędź podstawy długość 5√ 3- , oblicz R .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.


PIC


Zauważmy, że prosta DE zawierająca wysokość ostrosłupa zawiera też średnicę sfery, czyli trójkąt DAE jest prostokątny (kąt DAE jest oparty na średnicy). Ponadto AF jest wysokością tego trójkąta. Obliczmy długość tego odcinka – ma on długość 2 3 wysokości trójkąta równobocznego ABC , czyli

 √ -- √ -- AF = 2⋅ 5--3-⋅--3-= 5. 3 2

Stąd (twierdzenie Pitagorasa w trójkącie ADF )

 ∘ ------------ √ --------- √ ---- DF = AD 2 − AF 2 = 16 9− 2 5 = 144 = 12.

Teraz wystarczy zauważyć, że trójkąty prostokątne AED i FAD są podobne (mają wspólny kąt ADE ). Mamy więc

AD-- = FD-- ED AD 13 12 132 1 69 --- = --- ⇒ R = ----= ----. 2R 13 24 24

 
Odpowiedź:  169 R = 24

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!