Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7150064

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Krawędź podstawy jest równa a . Oblicz pole powierzchni bocznej i sinus połowy kąta między ścianami bocznymi ostrosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku


PIC


Najpierw policzymy pole powierzchni bocznej. Ponieważ wszystkie trzy ściany boczne są identyczne, więc wystarczy policzyć pole jednej z nich np. ABD . Obliczamy wysokość

 ∘ -------------- ∘ --------- √ --- (a )2 a2 a 15 h = (2a)2 − -- = 4a2 − ---= -----. 2 4 2

Zatem pole boczne wynosi

 a√15- 2√ --- P = 3 ⋅ ah-= 3a-⋅--2--= 3a---15-. b 2 2 4

Teraz zajmiemy się kątem między ścianami bocznymi – jest to dokładnie kąt między wysokościami AE i CE trójkątów ABD i CBD . Wysokości te mają równe długości – wyliczymy je licząc na dwa sposoby pole trójkąta ABD .

 1 PABD = 3Pb 2√ --- 2a⋅-|AE--|= a---15- 2 4 a√ 15- |AE | = -----. 4

Zatem trójkąt CAE wygląda następująco


PIC


Widać, że α jest połową kąta między ścianami. Zatem

 a √ --- sin α = -√2--= √-2--= 2--15-. a-15- 15 1 5 4

 
Odpowiedź:  3a2√ 15 Pb = --4--- i  2√15 sinα = -15--

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!