Zadanie nr 7150064

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Krawędź podstawy jest równa . Oblicz pole powierzchni bocznej i sinus połowy kąta między ścianami bocznymi ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku

Najpierw policzymy pole powierzchni bocznej. Ponieważ wszystkie trzy ściany boczne są identyczne, więc wystarczy policzyć pole jednej z nich np. ABD . Obliczamy wysokość

∘ -------------- ∘ --------- √ --- (a )2 a2 a 15 h = (2a)2 − -- = 4a2 − ---= -----. 2 4 2

Zatem pole boczne wynosi

a√15- 2√ --- P = 3 ⋅ ah-= 3a-⋅--2--= 3a---15-. b 2 2 4

Teraz zajmiemy się kątem między ścianami bocznymi – jest to dokładnie kąt między wysokościami i trójkątów ABD i CBD . Wysokości te mają równe długości – wyliczymy je licząc na dwa sposoby pole trójkąta ABD .