/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Ostrosłup/Prawidłowy trójkątny/Różne

Zadanie nr 7274654

Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości √ -- 2 . Wszystkie ściany boczne są równoramiennymi trójkątami prostokątnymi. Punkt P został wybrany wewnątrz ostrosłupa w ten sposób, że wysokości ostrosłupów ABDP , BCDP , ACDP , ABCP opuszczone z wierzchołka P mają tę samą długość H . Sporządź rysunek ostrosłupa i oblicz H .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jak to w zadaniach geometrycznych, najważniejszy jest porządny (duży i wyraźny) rysunek.

PIC

Sposób I

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, tzn. PA i PD rzuty P na ściany przeciwległe do wierzchołków A i D odpowiednio, A 1 – rzut A ,D ,PA ,PD na krawędź BC . Wartość H obliczymy z zielonego trójkąta, więc powyliczajmy najpierw niektóre jego odcinki. PDA 1 jest promieniem okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny ABC (albo, jak ktoś woli jest to 1 3 długości wysokości tego trójkąta), więc ze znanych wzorów

√ -- √ -- P A = 1-⋅√ 2-⋅--3-= --6. D 1 3 2 6

Ponieważ trójkąt BDC jest równoramienny i prostokątny, więc ∡DBC = 45 ∘ . Zatem trójkąt BA 1D jest równoramienny (bo jest prostokątny i jeden z kątów ma miarę 4 5∘ ). Stąd

√ -- 2 DA 1 = BA 1 = ---. 2

Możemy zatem wyliczyć DPD

------ ∘ -------------- ∘ 1 1 √ 3- DPD = DA 21 − PDA 21 = --− --= ---. 2 6 3

No i teraz gwóźdź programu, czyli układamy proporcję dla trójkątów podobnych DPAP i DPDA 1 :

P P P A -A---= -D---1 DP DA 1 ----H----- PDA--1 DPD − H = DA 1 √ - ---H---- -66 √-3 = √-2 3 − H √2-- H 3 √-------= ---- -33− H 3 √ --( √ -- ) H = --3- --3-− H 3 3 √ -- 1- ---3 H = 3 − 3 H / ⋅3 √ -- H (3+ 3) = 1 √ -- 3 − 3 H = -------. 6

Sposób II

Tym razem H wyliczymy porównując objętość całego ostrosłupa z sumą objętości czterech ostrosłupów, na które został podzielony.

Ponieważ trójkąty w ścianach bocznych są prostokątne i równoramienne, więc

AB DA = DB = DC = √---= 1. 2

Pola tych trójkątów są więc równe

1 1 -⋅ DA ⋅DB = -. 2 2

Pole podstawy jest równe

a2√ 3- 2√ 3- ------= -----. 4 4

Obliczmy jeszcze wysokość dużego ostrosłupa. Liczymy z twierdzenia Pitagorasa.

┌│ ----(-----------)-- ∘ ------------- │ 2 √ 2√ 3 2 DPD = AD 2 − AP 2D = ∘ 1 − --⋅ ------- = 3 2 ∘ ------ √ -- = 1− 6-= --3. 9 3

Teraz zgodnie z zapowiedzią porównujemy objętość ostrosłupa z sumą objętości ostrosłupów ABDP , BCDP , ACDP , ABCP .

V = V + 3⋅V ABCD√ -- √ ABCP √ ABDP 1- 2--3- ---3 1- 2---3 1- 1- 3 ⋅ 4 ⋅ 3 = 3 ⋅ 4 ⋅ H + 3 ⋅3 ⋅ 2 ⋅ H / ⋅3 ( √ -- ) 1- --3- 3- 2 = 2 + 2 H / ⋅2 √ -- 1 = ( 3 + 3)H √ -- √ -- √ -- H = ---1√---= -----3√-−---3--√----= 3−----3-= 3-−---3-. 3 + 3 (3+ 3)(3− 3) 9− 3 6

 
Odpowiedź: √- 3−--3- H = 6

Wersja PDF