Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7380409

Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest dwa razy krótsza od promienia okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa, a jego objętość jest równa 9. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa oraz tangens kąta, jaki tworzy krawędź boczna z krawędzią podstawy ostrosłupa.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy ostrosłupa.


PIC


Pole podstawy jest równe  2√ - Pp = a4-3 , a wysokość trójkąta w podstawie jest równa

 √ -- a--3- AD = 2 .

Wiemy ponadto, że

 √ -- √ -- 1- 1- 2- 1- a---3 a--3- SO = 2AO = 2 ⋅ 3AD = 3 ⋅ 2 = 6 ,

więc z podanej objętości ostrosłupa możemy obliczyć a .

 1- 9 = V = 3 Pp ⋅SO 2√ -- √ -- 3 9 = 1-⋅ a---3-⋅ a-3-= a-- / ⋅24 3 4 6 24 a3 = 216 ⇒ a = 6.

Mamy zatem

 √ -- √ -- SO = a--3-= 3 √6-- a 3 √ -- AD = -----= 3 3 2 √ -- √ -- DO = 1AD = 1⋅ 3 3 = 3 3∘ -------3---- ------ √ -- SD = SO 2 + DO 2 = √ 3 + 3 = 6.

Pole powierzchni bocznej jest więc równe

 1 √ -- Pb = 3⋅ -⋅ a⋅SD = 9 6. 2

Obliczamy jeszcze tangens kąta SCD .

 √ -- SD 6 tg ∡SCD = ----= ---. CD 3

 
Odpowiedź:  √ -- √6- Pb = 9 6, tg α = 3 .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!