Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8417219

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędzie boczne są dwa razy dłuższe od krawędzi podstawy.

  1. Wyznacz sinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
  2. Wyznacz długość krawędzi podstawy, tak aby objętość ostrosłupa wynosiła  √ --- 23 11 .
Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku


PIC


  • Obliczamy wysokość trójkąta w podstawie
     ∘ ----------- √ -- 2 ( a) 2 a--3- BC = a − 2 = 2 .

    Odcinek DC stanowi 1 3 wysokości, czyli

     √ -- √ -- 1- a--3- a--3- |DC | = 3 ⋅ 2 = 6 .

    Obliczamy wysokość ściany bocznej

     ∘ --------(--)-- √ --- h = (2a )2 − a- 2 = a--15-. 2 2

    Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość ostrosłupa

     ┌│ (------)-----(------)-- ∘ ----------- │ a√ 15 2 a√ 3 2 H = h2 − |DC |2 = ∘ ------ − ----- = 2 6 ∘ ----2-----2- ∘ -----2-----2 √ --- √ --- = 15a--− 3a--= 135a--−-3a--= 2a--3-3 = a---33. 4 36 36 6 3

    Teraz już łatwo obliczyć sinus

     -- a√-33 √ ---- √ --- √ --- sin α = H- = -√3-- = 2--4-95 = 2⋅3--5-5-= 2---55. h a--15 3 ⋅15 3 ⋅15 15 2

     
    Odpowiedź:  √-- 21555-

  • Objętość ostrosłup jest równa
     1 1 a√ 3- a√ 33- 3a 3√ 1-1 a 3√ 11- V = --⋅--⋅a⋅ -----⋅------= -------- = -------, 3 2 2 3 36 1 2

    co prowadzi do równania

     --- --- 2√ 11 a3√ 11 ------= ------- 3 12 a3 = 8 ⇒ a = 2.

     
    Odpowiedź: 2

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!