/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny

Zadanie nr 3095943

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest nieskończony ciąg okręgów (on) o równaniach 2 2 7−n x + y = 3 , n ≥ 1 . Niech Pk będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem o2k−1 i wewnętrznym okręgiem o2k . Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni P k , gdzie k ≥ 1 .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację – okrąg on jest okręgiem o środku (0 ,0) i promieniu √ ----- 3 7−n .

PIC

Pole pierwszego pierścienia kołowego jest równe

P1 = π ⋅ 36 − π ⋅35 = (729 − 243 )π = 4 86π .

Pole każdego kolejnego pierścienia kołowego jest dziewięć razy mniejsze (bo promienie ograniczających go okręgów są 3 razy mniejsze). Mamy więc do czynienia z szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie P = 486π 1 i ilorazie 1 q = 9 . Suma tego szeregu jest równa

P 1 486π 486π 24 3⋅9π 2187π S = ------= ----1-= --8--= -------- = ------. 1 − q 1− 9 9 4 4

 
Odpowiedź: 2187π 4

Wersja PDF