/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny

Zadanie nr 3129473

Niech będzie trójkątem równobocznym o boku długości . Konstruujemy kolejno trójkąty równoboczne T2,T3,T 4... takie, że bok kolejnego trójkąta jest równy wysokości poprzedniego trójkąta. Oblicz sumę pól wszystkich tak utworzonych trójkątów T ,T ,T ,... 1 2 3 .

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

Ze wzoru √ - h = a23- na wysokość w trójkącie równobocznym o boku , wiemy, że długości boków kolejnych trójkątów tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie i ilorazie √-3 k = 2 . Ponieważ stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, pola trójkątów T 1,T 2,T3... tworzą ciąg geometryczny (an) o pierwszym wyrazie √ - a2-3 a1 = 4 i ilorazie 2 3 q = k = 4 . Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa