/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny

Zadanie nr 8383314

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest okrąg o1 o promieniu r . Wewnątrz tego okręgu narysowano okrąg o2 styczny wewnętrznie o średnicy r , wewnątrz okręgu o 2 znów narysowano okrąg styczny wewnętrznie o średnicy 12r itd. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Oblicz sumę długości wszystkich skonstruowanych w ten sposób okręgów.

PIC

Rozwiązanie

Zauważmy, że każdy kolejny okrąg ma promień dwa razy mniejszy od poprzedniego, więc sumę długości wszystkich okręgów możemy obliczyć jako sumę szeregu geometrycznego (an) o pierwszym wyrazie a1 = 2π ⋅r i ilorazie q = 1 2 . Suma ta jest więc równa

--a1-- -2πr-- 1 − q = 1 − 1 = 4πr. 2

 
Odpowiedź: 4πr

Wersja PDF