Zadanie nr 8952681

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny

1 1 1 ------------, --------------2,--------------3-,..., sinx + co sx (sin x + cos x) (sin x+ cosx)

gdzie π 0 < x < 2- .

Rozwiązanie

Policzmy różnicę dwóch sąsiednich wyrazów.
$a − a = --------1---------− -------1-------- = n+1 n (sin x + cos x)n+1 (sin x+ cosx )n 1− sin x − cos x = ------------------. (sinx + co sx)n+ 1$

Wystarczy pokazać, że

$1 < sin x + cos(x ) 1 < sin x + sin π-− x 2 ( x + π-− x) ( x − π-+ x) 1 < 2sin -----2---- cos -----2---- 2( ) 2 1 < 2sin π-cos x − π- 4 4 1 ( π ) √---< cos x − -4 √ 2- --2- ( π-) 2 < cos x − 4 .$

Jeżeli , to i powyższa nierówność jest spełniona.
Liczymy
$----1---- S = --sinx+cosx-- = -------1--------. 1 − sinx1+cosx sin x + cos x− 1$

Odpowiedź:
Musimy rozwiązać równanie
$1 1 -----------------= √------- s√inx + co sx − 1 2− 1 2− 1 = sinx + co sx − 1 √ -- π ( π ) 2 = sinx + co sx = 2 sin --cos x − -- ( ) 4 4 1 = cos x − π- 4 x− π-= 0 ⇒ x = π-. 4 4$

Odpowiedź: