Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3213802

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa a . Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę 3 0∘ . Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi bocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego przekroju.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.


PIC


Jeżeli popatrzymy na trójkąt równoramienny ABD , to widać, że łatwo można obliczyć krawędź boczną:

 √ -- -a2-- ∘ --a- a--3- BD = cos30 ⇒ BD = √ 3-= 3 .

Teraz patrzymy na trójkąt ABE , korzystając z twierdzenia cosinusów możemy obliczyć długość odcinka AE .

 2 2 2 ∘ AE = AB + BE − 2AB√ -⋅BE√ -cos30 = 2 a2 a2 3 3 13 2 1 2 7 2 = a + --− 2⋅ ------⋅----= --a − -a = ---a √ ---12 6 2 12 2 1 2 AE = --21a. 6

Teraz już łatwo, z trójkąta prostokątnego AEF obliczymy długość wysokości F E i wtedy już łatwo obliczymy pole.

 ∘ ----------- ∘ ----- ∘ ---- √ -- ∘ ------------ 7 a2 4 3a2 3a F E = AE 2 − AF 2 = --a2 − ---= ---a2 = ----= ----. 12 4 1 2 9 3

Pozostało obliczyć pole.

 √ -- √ --2 P = 1-⋅AC ⋅F E = 1-a⋅ --3a-= --3a-. 2 2 3 6

 
Odpowiedź:  √ -2 P = --3a6-

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!