Zadanie nr 3756900
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o podstawie . Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość . Ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem takim, że . Przez środek krawędzi i środek krawędzi poprowadzono płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzny . Oblicz pole otrzymanego przekroju.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Otrzymany przekrój to oczywiście trapez o podstawach
i . Z obliczeniem długości tej drugiej podstawy będzie trochę więcej zachodu – widać, że przyda się do tego podobieństwo trójkątów i . Musimy też obliczyć wysokość trapezu i może od tego zacznijmy. Odcinek to połowa wysokości trójkąta równobocznego , więc
Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny .
Pozostało więc obliczyć długość podstawy trapezu . Jak już wcześniej zauważyliśmy, zrobimy to korzystając z podobieństwa trójkątów i , ale zanim będziemy mogli to zrobić, obliczmy długość odcinka . Patrzymy na trójkąt prostokątny .
Tak naprawdę w tym miejscu okazało się, że trójkąt jest połówka kwadratu z kątem prostym przy wierzchołku , ale mniejsza o to – w tym momencie nie ma to już wielkiego wpływu na dalsze rozwiązanie. Patrzymy teraz na trójkąty podobne i .
Obliczamy pole trapezu (który okazał się być prostokątem).
Odpowiedź: .