Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7282110

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym krawędź podstawy ma długość a i krawędź boczna jest od niej dwa razy dłuższa. Oblicz cosinus kąta między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ostrosłupa. Narysuj przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi bocznej i oblicz pole tego przekroju.


PIC


Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.


PIC


Żądany cosinus łatwo obliczyć z trójkąta prostokątnego AED :

 a co s∡ α = -AE- = 2--= 1. AD 2a 4

Aby obliczyć pole przekroju potrzebujemy wyliczyć długość wysokości EF trójkąta równoramiennego ABF . Obliczony cosinus podpowiada nam jak to zrobić: stosujemy najpierw twierdzenie cosinusów w trójkącie BCF

BF 2 = BC 2 + CF 2 − 2BC ⋅CF cosα 2 2 2 2 1- 2 a-2 3a2- BF = a + a − 2a ⋅ 4 = 2a − 2 = 2 .

Teraz stosujemy twierdzenie Pitagorasa w trójkącie EBF .

 2 2 2 3a2- a2- 5a2- EF = BF − EB = 2 − 4 = 4 √ -- EF = a--5. 2

Zatem szukane pole przekroju jest równe

 √ -- 2√ -- P = 1-AB ⋅EF = 1-⋅a⋅ a--5-= a---5. 2 2 2 4

 
Odpowiedź: Cosinus: 14 , pole:  2√- a-45 .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!