/Szkoła średnia/Liczby/Liczby całkowite/Reszty

Zadanie nr 2862891

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Reszta z dzielenia liczby a przez 3 jest równa 2. Reszta z dzielenia liczby b przez 3 jest równa 1. Wykaż, że różnica kwadratów liczb a i b jest podzielna przez 3.

Rozwiązanie

Na mocy podanych informacji możemy przyjąć, że a = 3m + 2 i b = 3n + 1 .

Sposób I

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

a2 − b2 = (3m + 2)2 − (3n + 1)2 = 9m 2 + 12m + 4− (9n2 + 6n + 1) = = 3(3m 2 + 4m − 3n2 − 2n + 1).

Widać teraz, że liczba ta rzeczywiście dzieli się przez 3.

Sposób II

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia różnicę kwadratów.

a2 − b2 = (3m + 2)2 − (3n + 1)2 = (3m + 2 + 3n + 1)(3m + 2 − 3n − 1) = = 3(m + n + 1)(3m − 3n + 1).

Widać teraz, że liczba ta rzeczywiście dzieli się przez 3.

Wersja PDF