/Szkoła średnia/Liczby/Liczby całkowite/Reszty

Zadanie nr 4311779

Liczba x z dzielenia przez 4 daje resztę 1. Liczba y z dzielenia przez 4 daje resztę 3. Wyznacz resztę z dzielenia liczby x 2 + y 2 przez 8.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Wiemy, że x = 4a+ 1 i y = 4b + 3 dla pewnych liczb całkowitych a i b . Mamy zatem

2 2 2 2 2 2 x + y = (4a+ 1) + (4b+ 3) = 16a + 8a + 1 + 16b + 24b + 9 = = 16a2 + 16b2 + 8a + 24b + 10 = 8(2a2 + 2b2 + a+ 3b + 1)+ 2.

Widać teraz, że reszta z dzielenia tej liczby przez 8 jest równa 2.  
Odpowiedź: 2

Wersja PDF