Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9140319

Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita n nie dzieli się przez 5, to  4 n daje przy dzieleniu przez 5 resztę 1.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez 5, to jest postaci n = 5k + r , gdzie r jest jedną z liczb: 1, 2, 3, 4. W takim razie

 2 2 2 2 2 2 n = (5k + r) = 25k + 1 0kr+ r = 5(5k + 2kr)+ r .

Podstawiając teraz każdą z 4 możliwych wartości r zauważmy, że liczba n 2 zawsze daje resztę 1 lub 4 przy dzieleniu przez 5, więc jest postaci n 2 = 5m + s , gdzie s = 1 lub s = 4 . Stąd

n4 = (n2)2 = (5m + s)2 = 2 5m2 + 10ms + s2 = 5(5m 2 + 2ms )+ s2.

Podstawiając teraz s = 1 i s = 4 sprawdzamy, że liczba n 4 w obu przypadkach daje resztę 1 przy dzieleniu przez 5.

Sposób II

Zauważmy, że wystarczy wykazać, że liczba n4 − 1 jest podzielna przez 5. Zauważmy, że

n4 − 1 = (n 2 − 1)(n 2 + 1) = (n − 1)(n + 1)(n 2 + 1).

Wystarczy zatem udowodnić, że jedna z liczb: (n − 1) , (n + 1) lub  2 (n + 1) jest podzielna przez 5. Aby to zrobić załóżmy, że pierwsze dwie liczby nie dzielą się przez 5 – pokażemy, że w takiej sytuacji trzecia liczba musi dzielić się przez 5. Jeżeli żadna z liczb n,n − 1 ,n+ 1 nie dzieli się przez 5, to n musi być postaci n = 5k+ 2 lub 5k+ 3 . Mamy wtedy odpowiednio

n 2 + 1 = (5k+ 2)2 + 1 = 25k2 + 20k + 4 + 1 = 5 (5k2 + 4k+ 1) n 2 + 1 = (5k+ 3)2 + 1 = 25k2 + 30k + 9 + 1 = 5 (5k2 + 6k+ 2),

Zatem rzeczywiście  2 n + 1 dzieli się przez 5.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!