Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9846060

Uzasadnij, że jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez 3, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli liczba całkowita nie dzieli się przez 3, to jest postaci n = 3k + 1 lub n = 3k+ 2 .

W pierwszym przypadku kwadrat tej liczby jest równy

n2 = (3k + 1)2 = 9k2 + 6k + 1 = 3(3k2 + 2k)+ 1.

Widać teraz, że rzeczywiście n2 daje resztę 1 z dzielenia przez 3.

W drugim przypadku

 2 2 2 2 n = (3k + 2 ) = 9k + 12k + 4 = 3(3k + 4k + 1) + 1.

Zatem tak jak poprzednio  2 n daje resztę 1 z dzielenia przez 3.

Sposób II

Zauważmy, że wystarczy wykazać, że liczba

n2 − 1 = (n − 1)(n+ 1)

jest podzielna przez 3. Wśród trzech kolejnych liczb całkowitych: n − 1 ,n ,n + 1 jest jedna podzielna przez 3. Z założenia wiemy, że n nie dzieli się przez 3, więc jedna z dwóch pozostałych liczb musi dzielić się przez 3. To dowodzi, że n2 − 1 rzeczywiście jest liczbą podzielną przez 3.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!