/Szkoła średnia/Liczby/Liczby całkowite/Podzielność/Kolejne liczby

Zadanie nr 5910452

Udowodnij, że po wymnożeniu kolejnych liczb naturalnych od 1 do 30, czyli po wykonaniu działania 1 ⋅2 ⋅3⋅... ⋅30 , otrzymamy liczbę, która kończy się dokładnie 7 zerami.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Musimy wykazać, że dany iloczyn dzieli się przez 7 7 7 10 = 2 ⋅5 , ale nie dzieli się przez 108 = 28 ⋅58 .

Oczywiście iloczyn ten jest podzielny przez

2⋅4 ⋅8 ⋅16 = 2 ⋅22 ⋅23 ⋅2 4 = 21+2+3+ 4 = 210.

Wystarczy więc zająć się podzielnością przez 5. Wszystkie liczby podzielne przez 5 i nie większe niż 30 to

5, 10 , 15, 20, 25, 3 0.

Zatem największa potęga 5-ki przez jaką dzieli się iloczyn 1 ⋅2⋅... ⋅30 to

2 7 5 ⋅5⋅ 5⋅5 ⋅5 ⋅5 = 5 .

To oznacza, że rzeczywiście liczba 1 ⋅2⋅ ...⋅30 dzieli się przez 1 07 , ale nie dzieli się przez 8 10 .

Wersja PDF