Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9491505

Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Trzy kolejne liczby naturalne możemy oznaczyć przez n− 1,n,n + 1 . Zatem ich suma sześcianów jest równa

 3 3 3 (n− 1) + n + (n+ 1) = = (n3 − 3n2 + 3n − 1) + n 3 + (n 3 + 3n 2 + 3n+ 1) = 3n 3 + 6n .

Sposób I

Ponieważ

 3 2 3n + 6n = 3n (n + 2),

Wystarczy pokazać, że liczba n(n 2 + 2) dzieli się przez 3.

Jeżeli n dzieli się przez 3, to koniec.

Jeżeli n daje resztę 1 z dzielenia przez 3, czyli n = 3k + 1 to

n2 + 2 = (3k + 1)2 + 2 = 9k 2 + 6k + 3 ,

więc n2 + 2 dzieli się przez 3.

Jeżeli natomiast n daje resztę 2 z dzielenia przez 3, czyli n = 3k + 2 to

n 2 + 2 = (3k+ 2)2 + 2 = 9k2 + 12k + 6,

więc tak jak poprzednio, n 2 + 2 dzieli się przez 3.

Sposób II

Ponieważ

3n3 + 6n = 9n3− (6n3− 6n) = 9n 3− 6n (n2− 1) = 9n3 − 6(n − 1)n(n + 1 ),

wystarczy pokazać, że (n − 1)n (n + 1) dzieli się przez 3. To jednak jest oczywiste, bo jest to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!