/Szkoła średnia/Liczby/Liczby całkowite/Podzielność/1 literka

Zadanie nr 2268855

Wykaż, że jeżeli n ∈ N , to liczba postaci 4 4 (n+ 2) − n jest podzielna przez 16.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy dane wyrażenie korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

4 4 2 2 2 2 (n + 2) − n = (n + 4n+ 4) − (n ) = = (n 2 + 4n + 4− n2)(n2 + 4n + 4 + n2) = 8 (n+ 1)(n2 + 2n + 2).

Teraz wystarczy zauważyć, że jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to liczba n + 1 jest parzysta, a jeżeli n jest liczbą parzystą to parzysta jest też liczba n 2 + 2n + 2 . To oznacza, że

2 (n+ 1)(n + 2n + 2)

jest zawsze liczbą parzystą, czyli

4 4 2 (n + 2) − n = 8(n + 1)(n + 2n + 2)

jest liczbą podzielną przez 16.

Wersja PDF