Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2492023

Pokazać, że dla każdej liczby naturalnej n liczba  n 8 + 6 jest podzielna przez 7.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że

 n n n−1 n− 2 8 + 6 = (8 − 1)+ 7 = (8− 1)(8 + 8 + ⋅ ⋅⋅+ 8 + 1) + 7.

Widać teraz wyraźnie, że liczba ta dzieli się przez 7.

Sposób II

Zadanie łatwo można rozwiązać indukcyjnie. Sprawdzamy dla n = 1 (lub n = 0 ) i zakładamy, że 8n + 6 dzieli się przez 7. Mamy wtedy

8n+ 1 + 6 = 8⋅ 8n + 8⋅6 − 8 ⋅6 + 6 = 8(8n + 6 )− 7 ⋅6.

Wyrażenie w nawiasie dzieli się przez 7 z założenia indukcyjnego, reszta też, więc kończy to dowód indukcyjny.

Sposób III

Ponieważ 8 daje resztę 1 z dzielenia przez 7 (tzn. 8 = 7+ 1 ), to taką samą resztę daje dowolna potęga 8 (reszta potęgi liczby to potęga reszty). Zatem całe wyrażenie daje resztę 1+ 6 = 0 . Całe to rozumowanie wygodnie zapisuje się przy pomocy kongruencji

8 ≡ 1 m od 7 8n ≡ 1n ≡ 1 m o d7 n 8 + 6 ≡ 1 + 6 ≡ 0 m od 7

Korzystaliśmy z tego, że kongruencje można potęgować i dodawać stronami.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!