Zadanie nr 5813084

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej liczba 2 9 (n − n )(n + 1) jest podzielna przez 6.

Rozwiązanie

Zapiszmy dane wyrażenie w postaci

2 9 9 (n − n)(n + 1) = n (n − 1)(n + 1).

Zauważmy najpierw, że powyższa liczba na pewno jest parzysta: albo jest parzyste, albo parzysta jest liczba n− 1 .

Wystarczy zatem wykazać, że liczba ta dzieli się przez 3.

Sposób I

Jeżeli lub n − 1 dzieli się przez 3, to sprawa jest oczywista, więc załóżmy, że n = 3k+ 2 . Mamy wtedy

n9 + 1 = (n 3)3 + 1 = (n3 + 1)(n6 − n3 + 1) = 2 6 3 2 6 3 = (n + 1)(n − n+ 1)(n − n + 1) = (3k + 3)(n − n + 1)(n − n + 1).

Widać teraz, że liczba ta dzieli się przez 3, więc rzeczywiście dana liczba dzieli się przez 6.

Sposób II

Korzystamy ze wzoru

9 8 7 6 5 4 3 2 n + 1 = (n + 1 )(n − n + n − n + n − n + n − n + 1).

Mamy zatem

(n2− n)(n9 + 1) = (n − 1)n(n + 1)(n 8− n7 + n6 − n5+ n4− n 3+ n 2− n + 1).

Pierwsze trzy składniki powyższego iloczynu to trzy kolejne liczby naturalne – oczywiście jedna z nich dzieli się przez 3.